|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Vierderde graads vergelijking vervolg
Kunt u mij uitleggen hoe ik kan oplossen:
"Laat zien dat:
z = ((Ö5 - 1)/4) + ((i/4)·Ö(10 + 2·Ö5))
een vijfdemachts eenheidswortel is: z5 = 1 "
Els
Antwoord
Zonder nadenken: bereken gewoon de vijfdemacht van z met Newtons binomiumformule:
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
en kijk of er 1 uitkomt.
Met nadenken:
z=re^(iq)=r(cos(q)+isin(q))
z5=r5e^(5iq)=r5(cos(5q)+isin(5q))=1 als r5=1 (dus r=1) EN 5q=2kp, want de cosinus daarvan is 1 en de sinus is 0.
(kijk eventueel op de goniometrische cirkel om je hiervan te overtuigen)
Je weet nu dat cos(q)=(Ö5-1)/4 en sin(q)=1/4*Ö(10+2Ö5)
Bereken dan ook cos(5q) en sin(5q), kijk of je 1 resp. 0 uitkomt. Nu wil het toeval (nuja ;-) ) dat één van de andere vragen van vandaag gaat over sin(5q) voorstellen als polynoom in sinq en cosq dus dat komt hier handig van pas.
Nu denk ik wel dat de eerste methode de snelste zal zijn.
Of nog sneller, met iets als Maple
 z:=(sqrt(5)-1)/4+I/4*sqrt(10+2*sqrt(5)):
simplify(z^5-1);
............................... 0
Maar dat zou valsspelen zijn natuurlijk 
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
